ملخص محاضرة الأستاذ نور الدين عن الدوال المرجعية وتطبيقاتها

في هذه المحاضرة يشرح الأستاذ نور الدين مجموعة من الدوال المرجعية الأساسية: دالة المربع، دالة المقلوب، دالة الجذر التربيعي، والدوال المثلثية (الجيب والجيب تمام). يتم التركيز على تعريف كل دالة، دراسة تغيرها، خصائص التماثل، وطريقة رسمها باستخدام عمليات الإزاحة.

Square Function

تُعرّف الدالة المربعة بالصيغة (f(x)=x^{2}). هي دالة متناقصة على الفترة (]-\infty,0]) ومتزايدة على الفترة ([0,+\infty[). لأنها دالة زوجية تتحقق العلاقة (f(-x)=f(x)) وبالتالي يكون منحناها متماثلاً حول محور الصادات. لرسم دالة من الشكل (f(x)=(x+a)^{2}+b) يُطبق إزاحة المتجه (\vec{v}(-a,b)) على منحنى الدالة الأصلية.

"الدالة مربع متناقسة تماما على المجال من ناقص ما لا نهاية للصفر ومتزايدة تماما على المجال من صفر إلى زائد ما لا نهاية."

Inverse Function

الدالة المقلوبة تُكتب (f(x)=\dfrac{1}{x}) مع شرط (x\neq0) (المجال ( \mathbb{R}^{*})). هي دالة متناقصة على كل من الفترتين (]-\infty,0[) و(]0,+\infty[). كونها دالة فردية يعني أن (f(-x)=-f(x)) وبالتالي يكون المنحنى متماثلاً بالنسبة للنقطة الأصلية (O). لرسم دالة من الشكل (f(x)=\dfrac{1}{x+a}+b) يُستعمل نفس إزاحة المتجه (\vec{v}(-a,b)).

"الدالة مقلوب متناقسة تماما على كل من المجالين من ناقص ما لا نهاية لصفر ومن صفر لزائد ما لا نهاية."

Square Root Function

الدالة الجذر التربيعي تُعرّف بـ (f(x)=\sqrt{x}) حيث (x\ge 0) (المجال ([0,+\infty[)). هي دالة متزايدة بصرامة على هذا المجال. لرسم دالة من الشكل (f(x)=\sqrt{x+a}+b) يُطبق إزاحة المتجه (\vec{v}(-a,b)) على منحنى الجذر الأصلي.

Trigonometric Functions

في دائرة الوحدة، يمثل إحداثي (x) قيمة (\cos x) وإحداثي (y) قيمة (\sin x). الهوية الأساسية (\cos^{2}x+\sin^{2}x=1) تُظهر العلاقة بينهما. الدالة جيب تمام ((\cos)) دالة زوجية ((\cos(-x)=\cos x))، بينما الدالة جيب ((\sin)) دالة فردية ((\sin(-x)=-\sin x)). كلاهما دوري بفترة (2\pi)، أي (\cos(x+2k\pi)=\cos x) و(\sin(x+2k\pi)=\sin x) لكل عدد صحيح (k).

"الدالة كوس دالة زوجية ومنحناها البياني متناظر بالنسبة لمحور التراتيب." "الدالة سينيس دالة فردية ومنحناها البياني متناظر بالنسبة للمبدأ."

آليات الدراسة والرسم

• دراسة التغير: لتحديد ما إذا كانت الدالة متزايدة أو متناقصة، يُقارن قيم (f(x_{1})) و(f(x_{2})) عندما يكون (x_{1}